Математики разгадали многолетнюю загадку о порядке, скрытом в многомерной случайности

Трое математиков представили доказательство, разрешившее давнюю математическую задачу. Даже сам математик — лауреат премии Абеля, который в начальный раз сформулировал эту задачу, не верил, что её когда-нибудь удастся решить. Решение позволяет лучше понять многомерные случайные структуры, что потенциально может повлиять на развитие науки о данных, машинного обучения и оптимизации.

В 1995 году Мишель Талагранд сформулировал свою знаменитую математическую задачу, в которой задаётся вопрос, можно ли «создать» выпуклость за фиксированное, одинаковое количество шагов (с помощью операций, называемых суммами Минковского) в любом количестве измерений. В математике выпуклость означает, что фигура или функция выгибается наружу, при этом не должно быть ни промежутков, ни вогнутых участков. Таким образом, любая линия, проведённая между двумя точками на периметре или внутри фигуры, должна полностью лежать внутри фигуры. Например, круг или квадрат в двух измерениях, а также сфера или куб в трёх измерениях считаются выпуклыми.

Гипотеза выпуклости Талаграна требует использования сумм Минковского — математических операций, которые объединяют два набора точек или геометрических фигур путём сложения каждой отдельной точки первого набора с каждой точкой второго набора. Всё это усложняется по ходу увеличения числа измерений. Некоторые называют эту задачу «проклятием размерности», которое приводит к экспоненциальному росту как геометрической сложности, так и времени вычисления результирующих фигур.

Сам Талагранд не считал, что гипотеза о выпуклости может быть доказана, и предложил 2000 долларов любому, кто сможет найти доказательство. В интервью журналу Scientific American он сказал: «Я выдвинул эту смелую гипотезу, по существу, без каких-либо оснований — это просто выстрел в темноту. Когда говоришь что-то подобное, чувствуешь, что это просто не может быть правдой».

Изначально Талагранд в своей статье 1995 года представил, что двух сложений по Минковскому нев достаточной степени, чтобы гарантировать разработка большого выпуклого подмножества. В 2025 году иной математик доказал, что замена суммы по Минковскому на выпуклые операции делает эту более сильную версию задачи о выпуклости ложной. Но это всё ещё не решало более общую версию Талагранда.

Новое доказательство было разработано Донмингом Хуа и Антуаном Сонгом из Калифорнийского технологического института, а равным образом Стефаном Тудосе из Принстонского университета, который присоединился к другим авторам, узнав об их работе. Вместе математики переформулировали геометрическую гипотезу Талагранда в задачу из теории вероятности и случайных векторов. В своей статье, опубликованной на сервере препринтов arXiv, они доказали эквивалентную гипотезу для теории вероятности, показав, что любой 1-субгауссовый случайный вектор в n измерениях можно выразить как сумму трёх стандартных гауссовых случайных векторов.

Этот результат решает задачу выпуклости Талаграна, доказывая, что для любого в достаточной степени большого множества в гауссовом пространстве можно найти выпуклое много с нетривиальной мерой, лежащее внутри тройной суммы исходного множества. Подход также подтверждает комбинаторный аналог этой задачи, что имеет важное значение для дискретной математики.

Изначально Сонг и Хуа говорят, что пытались выработать подход с помощью ChatGPT. Тем не менее, хотя LLM помог ответить на некоторые из их вопросов и приблизить их к решению, именно Тудосе предоставил окончательное доказательство. В конечном итоге команда не использовала работу, проделанную с ChatGPT. В своей статье команда пишет, что доказательство Тудосе было «более общим и концептуальным».